लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M) क्या है | JNV Class 6th Maths solutions

 गुणज – किसी संख्या को 1, 2, 3….. इत्यादि से गुणा करने पर जो गुणनफल प्राप्त होते हैं, उन्हें उस संख्या के गुणज कहते हैं।

●  2 के गुणज 2, 4, 6, 8, 10……इत्यादि ।

●  3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15……इत्यादि ।

●  5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25….इत्यादि ।

नोट : प्रत्येक संख्या का उसके सभी गुणजों में पूर्णतः भाग जाता है।

गुणनखण्ड – किसी संख्या में जिन-जिन संख्याओं का पूरा-पूरा भाग चला जाता है, वे संख्याएँ उस संख्या के गुणनखण्ड कहलाते हैं। इन्हें अपवर्तक भी कहा जाता है ।

●  32 संख्या 1, 2, 4, 8, 16, 32 से पूर्णतः विभाजित है। अतः ये सभी संख्याएँ, 32 के गुणनखण्ड कहलाते है।

●  35 संख्या 1, 5, 7, 35, से पूर्णतः विभाजित है। अतः ये सभी संख्याएँ, 35 के गुणनखण्ड कहलाते हैं।

●  1 प्रत्येक संख्या का गुणनखंड है।

●  प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणनखंड होती है।

●  किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या को पूर्ण विभाजित करता है ।

●  प्रत्येक गुणनखंड दी गयी संख्या से कम या बराबर होता है।

●  किसी दी गयी संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित होती है।

● किसी संख्या का प्रत्येक गुणक उस संख्या से बड़ा या बराबर होता है।

●  किसी दी गयी संख्या के गुणकों की संख्या अपरिमित होती है। प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणक होती है।

भाज्य और अभाज्य संख्याएँ – दो या दो से अधिक गुणनखण्डों वाली संख्याएँ “भाज्य अथवा संयुक्त संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे- 4, 6, 8, 10,20 .. इत्यादि संख्याएँ भाज्य अथवा संयुक्त संख्याएँ हैं।

ऐसी संख्याएँ जो या तो । या स्वयं से पूर्णतः विभाजित होती हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे- 2, 3, 5, 7, 11, …. इत्यादि संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।

नोट : सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 होती है ।

 सह-अभाज्य संख्याएँ – ऐसी संख्याओं के जोड़े जिनके गुणनखण्डों में 1 के अतिरिक्त कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ’ कहते हैं। जैसे -13, 21 में 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

 लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)

लघुत्तम समापवर्त्य पर आधारित प्रश्न

Q.1 12, 24, 48 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 12
B. 28
C. 36
D. 48

हल:- प्रश्नानुसार,
12 = 2 × 2 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
L.C.M. = 48
Ans. 48

Q.2 15, 30, 60 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 12
B. 28
C. 36
D. 60

हल:- प्रश्नानुसार,
15 = 3 × 5
30 = 2 × 3 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
L.C.M. = 2 × 2 × 3 × 5
L.C.M. = 15 × 4
L.C.M. = 60
Ans. 60

Q.3 16, 64, 128 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128

हल:- प्रश्नानुसार,
16 = 2 × 2 × 2 × 2
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
L.C.M. = 128
Ans. 128

Q.4 24, 36, 40 का LCM निकालिए?
A. 430
B. 360
C. 420
D. 520

हल:- प्रश्ननानुसार,
24, 36, 40 का महत्तम समापवर्तक
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
40 = 2 × 2 × 2 × 5
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
LCM = 360
Ans. 360

Q.5 66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 20450
B. 21450
C. 22450
D. 23450

हल:- प्रश्नानुसार,
66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक
66 = 2 × 3 × 11
75 = 3 × 5 × 5
130 = 2 × 5 × 13
लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 5 × 5 × 11 × 13
लघुत्तम समापवर्तक = 21450
Ans. 21450

Q.6 9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 270
B. 240
C. 320
D. 120

हल:- प्रश्नानुसार,
9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक
9 = 3 × 3
30 = 2 × 3 × 5
27 = 3 × 3 × 3
15 = 3 × 5
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
लघुत्तम समापवर्तक = 270
Ans. 270

Q.7 36 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 270
B. 242
C. 252
D. 320

36 = 2 × 2 × 3 × 3
84 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
लघुत्तम समापवर्तक = 252
Ans. 252

Q.8 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 24
B. 3
C. 3/56
D. 8

हल:- प्रश्नानुसार,
3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
लघुत्तम समापवर्तक = (3, 6, और 8 का ल. स.)/(4, 6, और 7 का म. स.)
लघुत्तम समापवर्तक = 24/1
लघुत्तम समापवर्तक = 24
Ans. 24

Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
A. 120
B. 280
C. 360
D. 480

हल:- प्रश्नानुसार,
5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = (5, 7, 8 का ल. स.)/(7,8,9 का म.स.)
लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = 280
Ans. 280

Q.9 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
A. 10/27
B. 20/3
C. 20/27
D. 1/54

हल:- प्रश्नानुसार,
1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
अभीष्ट ल.स. = 1, 5, 2 तथा 4 का ल.स./3, 6, 9 तथा 27 का म.स.
अभीष्ट ल.स. = 20/3
Ans. 20/3

Q.10 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं?
A. 30/98
B. 60/90
C. 30/7
D. 60/147

हल:- प्रश्नानुसार,
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
अभीष्ट ल. स. = (6,5,10 का ल. स.)/(7,14,21 का म.स.)
30/7
Ans. 30/7

Q.11 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
A. 1.44
B. 7.2
C. 12.96
D. 18.32

हल:- प्रश्नानुसार,
0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144
दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं।
इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या
= 900, 180, 3600, 7200 तथा 144
इन संख्याओं का ल. स. = 7200
अभीष्ट ल. स. = 7200/100
लघुत्तम समापवर्तक = 7.2
Ans. 7.2

Q.12 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा?
A. x – y
B. x² – y²
C. x³ – y³
D. x² + xy + y²

हल:- प्रश्नानुसार,
x² + xy + y² =
x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
अभीष्ट L.C.M. = (x – y) (x² + xy + y² )
Ans. x³ – y³

Q.13 4⁷, 4⁵, 4⁶, 4⁴, L.C.M. ज्ञात कीजिए?
A. 4⁵
B. 4⁷
C. 4⁶
D. 4⁴

हल:- सभी संख्याओं का आधार 4 हैं। तथा अधिकतम घात 4⁷ का हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य = 5¹²
Ans. 4⁷

Q.14 10 a²bc, 15 abc², 20 a²b²c का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
A. 60a²b²c²
B. 40ab²c²
C. 70a²b²c
D. 90abc²

हल:- प्रश्नानुसार,
10 a²bc = 5×2×a²×b×c
15 abc²= 5×3×a×b×c²
20 a²b²c = 5×2²×a²×b²×c
L.C.M. = 5×2²×3×a²×b×c
L.C.M. = 60a²b²c²
Ans. 60a²b²c²

Q.15 8(x³−x) और 4(x³ −1) का लघुत्तम समापवर्तक होगा?
A. 4 (x²−1)(x+1)
B. 8x (x²−1)(x²+x+1)
C. 4 (x²−1)
D. 8(x²−1)(x²+x+3)

हल:- प्रश्नानुसार,
8(x³−x) = 2³ × x × (x – 1)(x + 1)
4(x³ −1) = 2² × (x – 1)(x² + x + 1)
लघुत्तम समापवर्तक = 2³ × x × (x – 1)(x + 1) (x² + x + 1)
लघुत्तम समापवर्तक = 8x (x – 1)(x² + x + 1)