NCERT Solutions Class 9Th Math – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
NCERT Solutions Class 9Th Math – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
घनाभ और घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
1. 1.5 मी लंबा, 1.25 मी चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानत हुए, निर्धारित करें –
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल !
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मी² शीट का मूल्य 20 रुपए है।
2. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मी, 4मी और 3 मी है। 7.50 रुपए प्रति मी ² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात करें।
3. किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है। यदि 10 रु० प्रति मी2 की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रु० है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात करें। (संकेत – चारों डिब्बों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मी2 के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती है ?
5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं ।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है ?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है ?
हल – (i) 10 सेमी के किनारे वाले डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (10)2 = 400 सेमी2
6. एक छोटा पौधा घर सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 सेमी लंबा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है ?
7. शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपये प्रति 1000 सेमी2 है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी ?
8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले ( सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी ?
लंब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
1. ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी ² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात करें।
2. धातु की एक चादर से 1 मी ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?
3. धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी हैं (देखें आकृति) । ज्ञात करें-
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, (ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, (iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल |
4. एक रोलर का व्यास 84 सेमी है और लंबाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का मी2 में क्षेत्रफल ज्ञात करें।
5. किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मी है। 12.50 रुपए प्रति मी² की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात करें ।
6. एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मी² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात करें ।
7. किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 मी है और यह 10 मी गहरा है। ज्ञात करें –
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
(ii) 40 रु० प्रति मी± की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
8. गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयत्र में 28 मी लंबाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है ?
9. आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों और 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात करें कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।
10. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था । विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा ?
लंब वृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी हैं। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मी है और आधार का व्यास 24 मी हैं ।
3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात करें –
4. शंकु के आकार का एक तंबू 10 मी ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मी है। ज्ञात करें –
5. 8 मी ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मी वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 मी चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? यह मान कर चलें कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग करें )
6. शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई तथा आधार व्यास क्रमशः 25 मी और 14 मी हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपए प्रति 100 मी² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात करें।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
1. निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें –
(i) 10.5 सेमी (ii) 5.6 सेमी (iii) 14 सेमी
2. निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें –
3. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14 लें)।
हल – यहाँ r = 10 सेमी
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr2 = 3 × 3.14 × 10 × 10 = 942 सेमी2
4. एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।
5. पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 सेमी है। 16 रुपए प्रति 100 सेमी की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात करें।
6. उस गोले की त्रिज्या ज्ञात करें जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।
7. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।
8. एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 सेमी मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 सेमी है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
घनाभ का आयतन
1. माचिस की डिब्बी के माप 4 सेमी x 2.5 सेमी × 1.5 सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
2 . एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मी लंबी, 5 मी चौड़ी और 4.5 मी गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1 मी³ = 10001)
3. एक घनाभाकार बर्तन 10 मी लंबा और 8 मी चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
4. 8 मी लंबा, 6 मी चौड़ा और 3 मी गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपए प्रति मी³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात करें।
5. एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5 मी और 10 मी हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात करें।
6. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मी × 15 मी × 6 मी मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा ?
7. किसी गोदाम की माप 40मी ×25 मी x 10 मी हैं। इस गोदाम में 1.5 मी × 1.25 मी × 0.5 मी की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं ?
8. 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी ? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात करें।
9. 3 मी गहरी और 40 मी चौड़ी एक नदी 2 किलोमीटर प्रति घंटा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा ?
बेलन का आयतन
1. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 सेमी³ = 1 लीटर)
2. लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लंबाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात करें, यदि 1 सेमी लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
3. एक सोफ्ट ड्रिंक दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है- (i) लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा । किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
4. यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी ² है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात करें –
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लें)
हल – पार्श्वय पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
5. 10 मी गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपए प्रति मी’² है, तो निम्न ज्ञात करें –
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता ।
6. 1 मी ऊँचाई वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ?
7. सीसे की एक पेंसिल लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर ग्रेफाइट से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मीमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मीमी है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन तथा ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात करें।
लंब वृत्तीय शंकु का आयतन
1. उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात करें, जिसकी –
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है,
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात करें जिसकी –
3. एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात करें। ( π 3.14 प्रयोग करें)
4. यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π सेमी³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात करें ।
5. ऊपरी व्यास 3.5 मी वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मी गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है ?
6. एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात करें-
(i) शंकु की ऊँचाई,
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई,
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
7. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात करें।
8. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात करें ।
9. गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मी व्यास और 3 मी ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात करें। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात करें ।
गोले का आयतन
1. उस गोले का आयतन ज्ञात करें जिसकी त्रिज्या निम्न है –
(i) 7 सेमी (ii) 0.63 मी
2. उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात करें, जिसका व्यास निम्न है –
(i) 28 सेमी (ii) 0.21 मी
3. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सेमी है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात करें।
4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
5. व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
6. एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात करें।
7. उस गोले का आयतन ज्ञात करें जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।
8. किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से इसमें सफेदी कराने में 498.96 रुपए व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपए प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात करें –
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन |
9. लोहे के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात करें –
10. दवाई का एक कैपसूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी3 में) की आवश्यकता होगी ?
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