Gujarat Board | Class 10Th | Mathematics | Model Question Paper & Solution | Chapter – 15 Probability (સંભાવના)
Gujarat Board | Class 10Th | Mathematics | Model Question Paper & Solution | Chapter – 15 Probability (સંભાવના)
સ્વાધ્યાય – 15.1
1. નીચેનાં વિધાનો પૂર્ણ કરોઃ
( 1 ) ઘટના Eની સંભાવના + ઘટના ‘E નહીં’ની સંભાવના = ………
( 2 ) ઉદ્ભવી ન શકે તેવી ઘટનાની સંભાવના ……… છે. આવી ઘટનાને ……. કહે છે.
( 3 ) ચોક્કસપણે ઉદ્ભવતી ઘટનાની સંભાવના ……… છે. આવી ઘટનાને ……… કહે છે.
( 4 ) પ્રયોગની તમામ મૂળભૂત (પ્રાથમિક) ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો ……… છે.
( 5 ) ઘટનાની સંભાવના ………થી મોટી અથવા તેના જેટલી અને ………થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.
જવાબ : ( 1 ) 1 ( 2 ) 0, અશક્ય ઘટના ( 3 ) 1, ચોક્કસ ઘટના અથવા નિશ્ચિત ઘટના (4) 1 (5) 0, 1
2. નીચે આપેલ પૈકી કયા પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે? સમજાવો.
( 1 ) પ્રયોગ : ડ્રાઇવર કાર ચાલુ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામ : કાર ચાલુ થાય છે અથવા ચાલુ નથી થતી.
( 2 ) પ્રયોગ : ખેલાડી બાસ્કેટબૉલને તાકીને મારવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામ : તે બૉલને બાસ્કેટમાં નાખે છે અથવા ચૂકી જાય છે.
( 3 ) પ્રયોગ : ખરા-ખોટા પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની કસોટી આપવામાં આવી છે. પરિણામ : જવાબ સત્ય છે કે અસત્ય.
( 4 ) પ્રયોગ : બાળક જન્મ્યું છે. પરિણામતે બાબો છે કે બેબી.
( 1 ) આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી નથી. અહીં, કારની હાલત દર્શાવી નથી. જો કાર ચાલુ હાલતમાં હોય, તો તે તરત ચાલુ થાય, પરંતુ જો કારમાં કોઈ ખરાબી હોય, તો તે ચાલુ ન પણ થાય. આથી આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી નથી.
( 2 ) આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી નથી. અહીં, ખેલાડી બાસ્કેટબૉલને બાસ્કેટમાં નાખે છે અથવા ચૂકી જાય છે, તેનો આધાર ખેલાડી કુશળ છે અથવા શિખાઉ છે તેના પર આધારિત છે. તે અંગેની કોઈ માહિતી પ્રશ્નમાં આપેલ ન હોવાથી આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી નથી.
( 3 ) આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે. જ્યારે ખરા- ખોટા પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં આવે છે, ત્યારે ફક્ત બે જ શક્યતા છે, જવાબ સત્ય હોય અથવા જવાબ અસત્ય હોય. આ પ્રકારના પ્રશ્નમાં કોઈ ગણતરી અથવા વિવરણ માંગવામાં આવતું ન હોવાથી, આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે.
( 4 ) આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે. જ્યારે બાળક જન્મે ત્યારે તે બાબો છે કે બેબી એ બે જ શક્યતા છે અને તે પૈકીની કોઈ શક્યતા બીજી શક્યતાથી અધિક હોય તે શક્ય નથી. આથી આપેલ પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે.
3. શા માટે ફૂટબૉલની રમતની શરૂઆતમાં કઈ ટુકડીને બૉલ મળવો જોઈએ તે નક્કી કરવા, સિક્કાને ઉછાળવો નિષ્પક્ષ ક્રિયા છે એવું વિચારાય છે?
સમતોલ સિક્કાને ઉછાળવાના પ્રયોગનાં બંને પરિણામો – છાપ અને કાંટો – સમસંભાવી છે. આથી સિક્કો ઉછાળતાં છાપ આવશે કે કાંટો આવશે તેની આગાહી કરી શકાય નહીં. આથી ફૂટબૉલની રમતની શરૂઆતમાં કઈ ટુકડીને બૉલ મળવો જોઈએ તે નક્કી કરવા, સમતોલ સિક્કો ઉછાળવો તે નિષ્પક્ષ ક્રિયા છે.
4. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ ઘટનાની સંભાવના ન હોઈ શકે?
(A) 2/3 (B) – 1.5 (C) 15 % (D) 0.7
આપણે જાણીએ છીએ કે, કોઈ પણ ઘટના E માટે, 0 ≤ P (E) ≤ 1. આમ, કોઈ પણ ઘટનાની સંભાવના ઋણ અથવા 1થી મોટી ન હોઈ શકે. વિકલ્પ (B) ઋણ સંખ્યા – 1.5 દર્શાવે છે.
આથી સાચો વિકલ્પ (B) – 1.5 છે.
5. જો P (E) = 0.05 હોય, તો ‘E નહીં’ની સંભાવના શું છે?
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ પણ ઘટના E માટે,
P (E) + P (Ē) = 1
∴ P (Ē) = 1 – P (E)
∴ P (Ē) = 1 – 0.05
∴ P (Ē) = 0.95
∴ P (E નહીં) = 0.95
આમ, ‘E નહીં’ની સંભાવના 0.95 હોય.
6. એક થેલામાં લીંબુના સ્વાદની જ મીઠાઈઓ છે. માલિની થેલામાં જોયા વગર એક મીઠાઈ બહાર કાઢે છે. તે ( 1 ) નારંગીના સ્વાદની મીઠાઈ હોય ( 2 ) લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી?
એક થેલામાં લીંબુના સ્વાદની જ મીઠાઈઓ છે. ધારો કે, પેટીમાં કુલ n મીઠાઈઓ છે. માટે થેલામાંથી એક મીઠાઈ પસંદ કરવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા n થાય. થેલામાં ફક્ત લીંબુના સ્વાદની જ મીઠાઈઓ છે.
∴ લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈઓની સંખ્યા = n
∴ નારંગીના સ્વાદની મીઠાઈઓની સંખ્યા = 0
(1) ધારો કે, ઘટના A : પસંદ કરેલ મીઠાઈ નારંગીના સ્વાદની હોય.
થેલામાં નારંગીના સ્વાદની 0 મીઠાઈઓ હોવાથી ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 0 થાય.
∴ P (A) = 0/n = 0
(2) ધારો કે, ઘટના B : પસંદ કરેલ મીઠાઈ લીંબુના સ્વાદની હોય.
થેલામાં લીંબુના સ્વાદની n મીઠાઈઓ હોવાથી ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા n થાય.
∴ P (B) = n/n = 1
નોંધ : અહીં, ઘટના A એ અશક્ય ઘટના છે અને ઘટના B ચોક્કસ ઘટના છે.
∴ P (A) = 0 અને P (B) = 1
7. આપેલ છે કે, 3 વિદ્યાર્થીઓના સમૂહમાં બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન ન હોય તેની સંભાવના 0.992 છે. બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
ધારો કે, ઘટના A : બે વિદ્યાર્થીઓના જન્મદિવસ સમાન હોય.
આથી ઘટના Ā : બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન ન હોય.
હવે, P (Ā) = 0.992 (આપેલ છે.)
કોઈ પણ ઘટના A માટે, P (A) + P (Ā) = 1
∴ P (A) = 1 − P (Ā) = 1 – 0.992 = 0.008
આમ, બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના 0.008 છે.
8. એક થેલામાં ૩ લાલ અને 5 કાળા દડા છે. થેલામાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. બહાર કાઢેલ દડો ( 1 ) લાલ હોય ( 2 ) લાલ ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
થેલામાં રહેલ દડાની કુલ સંખ્યા = 3 + 5 = 8
∴ થેલામાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 8.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : બહાર કાઢેલ દડો લાલ હોય. થેલામાં 3 લાલ દડા છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 થાય.
માટે P (A) = 3/8
(2) ધારો કે, ઘટના B : બહાર કાઢેલ દડો લાલ ન હોય.
અહીં, ઘટના B એ ઘટના Ā જ છે.
∴ P (B) = P (Ā) = 1 − P (A) = 1 – 3/8 = 5/8
9. એક પેટીમાં 5 લાલ લખોટીઓ, 8 સફેદ લખોટીઓ અને 4 લીલી લખોટીઓ છે. પેટીમાંથી એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે બહાર કાઢવામાં આવે છે. બહાર કાઢેલ લખોટી ( 1 ) લાલ હોય ( 2 ) સફેદ હોય ( 3 ) લીલી ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
પેટીમાં રહેલ લખોટીઓની કુલ સંખ્યા = 5 + 8 + 4 = 17
∴ પેટીમાંથી એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે બહાર કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 17.
10. એક ગલ્લામાં 50pના સો સિક્કા, ₹ 1 ના પચાસ સિક્કા, ₹ 2 ના વીસ સિક્કા અને ₹ 5 ના દસ સિક્કા છે. જ્યારે આ ગલ્લાને ઊંધો કરવામાં આવે ત્યારે ગલ્લામાંથી કોઈ એક સિક્કો બહાર પડે, તે સમસંભાવી હોય, તો સિક્કો ( 1 ) 50pનો સિક્કો હશે ( 2 ) ₹ 5નો સિક્કો નહીં હોય તેની સંભાવના કેટલી?
ગલ્લામાં રહેલ સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
∴ ગલ્લામાંથી એક સિક્કો બહાર પડે તે પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 180
11. ગોપી પોતાના માછલીઘર માટે દુકાનમાંથી માછલી ખરીદે છે. દુકાનદાર મોટી ટાંકીમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક માછલી બહાર કાઢે છે. આ ટાંકીમાં 5 નર માછલી અને 8 માદા માછલી (જુઓ આકૃતિ) છે. બહાર કાઢેલ માછલી નર માછલી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
મોટી ટાંકીમાં રહેલી માછલીઓની કુલ સંખ્યા = 5 + 8 = 13
∴ મોટી ટાંકીમાંથી એક માછલી બહાર કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 13
ધારો કે, ઘટના A : બહાર કાઢેલ માછલી નર માછલી છે.
મોટી ટાંકીમાં 5 નર માછલી છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 થાય.
∴ P (A) = 8/13
12..તકની એક રમતમાં ગોળ ફરતું ‘એક તીર (Arrow) , હોય છે. તે 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8માંથી .કોઈ. એક સંખ્યા પાસે નિર્દેશ કરતું અટકે છે (જુઓ આકૃતિ) અને. આ સમસંભાવી પરિણામો છે.
( 1 ) તે 8 તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
( 2 ) અયુગ્મ સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
( 3 ) 2 કરતાં મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
( 4 ) 9 કરતાં નાની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
પાટિયા પર કુલ 8 સંખ્યા છે અને ગોળ ફરતું તીર આ 8 સંખ્યા પૈકી કોઈ પાસે નિર્દેશ કરતું અટકી શકે છે.
∴ તકની રમતનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 8
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : તી૨ 8 તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પર ફક્ત એક જ 8 છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 થાય.
∴ P (A) = 1/8
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : તીર અયુગ્મ સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પર 1, 3, 5, 7 એમ 4 અયુગ્મ સંખ્યાઓ છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 થાય.
∴ P (B) = 4/8 = 1/2
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : તીર 2 કરતાં મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
પાટિયા પર 2 કરતાં મોટી હોય તેવી 6 સંખ્યાઓ (3, 4, 5, 6, 7, 8) છે.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 થાય.
∴ P (C) = 6/8 = 3/4
( 4 ) ધારો કે, ઘટના D : તીર 9 કરતાં નાની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
પાટિયા પરની બધી જ 8 સંખ્યાઓ 9 કરતાં નાની છે.
∴ ઘટના Đને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 થાય.
∴ P (D) = 8/8 = 1
13. પાસાને એક વાર ફેંકવામાં આવે છે, તો ( 1 ) અવિભાજ્ય સંખ્યા ( 2 ) 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા ( 3 ) અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધો.
પાસાને એક વાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં સમસંભાવી પરિણામોની સંખ્યા 6 છે.
∴ પાસાને એક વાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 6.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે છે. પાસા પ૨ ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (2, 3, 5) હોય છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 થાય.
∴ P (A) = 3/6 = 1/2
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા મળે છે. પાસા પર 2 અને 6ની વચ્ચેની ત્રણ સંખ્યાઓ (3, 4, 5) હોય છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 છે.
∴ P (B) = 3/6 = 1/2
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : અયુગ્મ સંખ્યા મળે છે.
પાસા ૫૨ ત્રણ અયુગ્મ સંખ્યાઓ (1, 3, 5) હોય છે.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 છે.
∴ P (C) = 3/6 = 1/2
14. સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું કાઢવામાં આવે છે, તો ( 1 ) લાલ રંગનો રાજા ( 2 ) મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ( 3 ) લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ( 4 ) લાલનો ગુલામ ( 5 ) કાળીનું પત્તું ( 6 ) ચોકટની રાણી મળવાની સંભાવના શોધો.
સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું કાઢવામાં આવે છે.
∴ આપેલ પ્રયોગના સમસંભાવી કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 52
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : લાલ રંગનો રાજા મળે છે. થોકડીમાં લાલ રંગના બે રાજા હોય છે : લાલનો રાજા અને ચોકટનો રાજા.
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
∴ P (A) = 2/52 = 1/26
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : મુખમુદ્રાવાળું પત્તું મળે છે.
થોકડીમાં મુખમુદ્રાવાળાં 12 પત્તાં હોય છે : ચાર રાજા, ચાર રાણી અને ચાર ગુલામ.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 12 છે.
∴ P (B) = 12/52 = 3/13
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું મળે છે.
થોકડીમાં લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળાં 6 પત્તાં હોય છે : લાલ અને ચોકટ દરેકના રાજા, રાણી અને ગુલામ.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 છે.
∴ P (C) = 6/52 = 3/26
( 4 ) ધારો કે, ઘટના D : લાલનો ગુલામ મળે છે.
થોકડીમાં લાલનો ગુલામ ફક્ત એક જ હોય છે.
∴ ઘટના Dને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
∴ P (D) = 1/52
( 5 ) ધારો કે, ઘટના E : કાળીનું પત્તું મળે છે.
થોકડીમાં કાળીનાં પત્તાં 13 હોય છે.
∴ ઘટના Eને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 13 છે.
∴ P (E) = 13/52 = 1/4
( 6 ) ધારો કે, ઘટના F : ચોકટની રાણી મળે છે.
થોકડીમાં ચોકટની રાણી ફક્ત એક જ હોય છે. .
∴ ઘટના ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
∴ P (F) = 1/52
15. પાંચ ચોકટનાં પત્તાં – દસ્સો, ગુલામ, રાણી, રાજા અને એક્કો એ તમામના મુખ નીચે તરફ રાખીને સરખી રીતે ચીપેલાં છે, પછી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે. ( 1 ) પત્તું રાણીનું હશે તેની સંભાવના શું છે? ( 2 ) જો રાણીને કાઢીને એક બાજુએ મૂકવામાં આવે અને બીજું પત્તું ખેંચવામાં આવે તે ( 2 ) એક્કો હોય (b) રાણી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
આપેલ પ્રયોગમાં ચોકટનાં પાંચ પત્તાં સરખી રીતે ચીપેલાં છે અને પછી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે.
∴ પ્રયોગનાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 5
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : ખેંચેલું પત્તું રાણીનું છે.
આપેલ પાંચ પત્તાં પૈકી રાણીનું પત્તું એક જ છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
∴ P (A) =1/5
( 2 ) જો રાણીને કાઢીને એક બાજુએ મૂકવામાં આવે, તો ચાર પત્તાં બાકી રહે – દસ્સો, ગુલામ, રાજા અને એક્કો.
હવે, એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવાના પ્રયોગમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા 4 થાય.
( a ) ધારો કે, ઘટના B: ખેંચેલું પત્તું એક્કો હોય.
પ્રયોગમાં રહેલાં ચાર પત્તામાં એક્કો ફક્ત એક જ છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
∴ P (B) = 1/4
( b ) ધારો કે, ઘટના C : ખેંચેલું પત્તું રાણી હોય.
પ્રયોગમાં રહેલાં ચાર પત્તાંમાં એક પણ રાણી નથી.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 0 છે.
∴ P (C) = 0/4 = 0
16. ખામીવાળી 12 પેન આકસ્મિક રીતે 132 સારી પેનની સાથે ભળી ગઈ છે. એવું શક્ય નથી કે કેવળ પેનને જોઈને જ કહી શકાય કે પેન ખામીયુક્ત છે કે નહીં. આ જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. કાઢવામાં આવેલી પેન ખામી રહિત છે, તેની સંભાવના શોધો.
જથ્થામાં રહેલ કુલ પેનની સંખ્યા = 132 + 12 = 144
આ જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
∴ એક પેન કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 144
ધારો કે, ઘટના A : કાઢવામાં આવેલ પેન ખામી રહિત છે.
જથ્થામાં ખામી રહિત પેનની સંખ્યા 132 છે.
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 132 છે.
∴ P (A) = 132/144 = 11/12
17. ( 1 ) 20 વીજળીના ગોળાઓનો જથ્થો 4 ખામીયુક્ત ગોળા ધરાવે છે. આ જથ્થામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ ગોળો ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના કેટલી?
( 2 ) ધારો કે (1)માં, કાઢવામાં આવેલ ગોળો ખામીયુક્ત નથી અને તેને પાછો મૂકવામાં પણ નથી આવ્યો. હવે, બાકીના ગોળામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ ગોળો ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
( 1 ) જથ્થામાં રહેલ ગોળાઓની કુલ સંખ્યા = 20
ખામીયુક્ત ગોળાઓની સંખ્યા = 4
∴ ખામી રહિત ગોળાઓની કુલ સંખ્યા = 20 – 4 =16
જથ્થામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
∴ એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 20
ધારો કે, ઘટના A : કાઢેલ ગોળો ખામીયુક્ત છે.
જથ્થામાં કુલ 4 ગોળા ખામીયુક્ત છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 છે.
∴ P (A) = 4/20 = 1/5
( 2 ) ધારો કે, આપેલ માહિતી મુજબ, (1)માં કાઢેલ ગોળો ખામીયુક્ત નથી (ખામી રહિત છે) અને તેને પાછો મૂકવામાં નથી આવ્યો.
આથી હવે જથ્થામાં 15 ખામી રહિત અને 4 ખામીયુક્ત એમ કુલ 19 ગોળા છે.
∴ એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 19.
ધારો કે, ઘટના B : કાઢેલ ગોળો ખામીયુક્ત નથી. એટલે કે, ખામી રહિત છે.
જથ્થામાં હવે 15 ગોળા ખામી રહિત છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 15 છે.
∴ P (B) = 15/19
18. એક ખોખામાં 1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓ લખેલી 90 ગોળ તકતીઓ છે. જો ખોખામાંથી એક ગોળ તકતી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે તો તેના પર ( 1 ) બે અંકની સંખ્યા, ( 2 ) પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ( 3 ) 5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોય તેની સંભાવના શોધો.
1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓ લખેલી 90 તકતીઓ જે ખોખામાં ભરેલી છે, તેમાંથી એક તકતી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
∴ 1 તકતી કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 90
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : કાઢેલી તકતી પર બે અંકની સંખ્યા હોય. 1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓમાં બે અંકની 81 સંખ્યાઓ છે : 10, 11, …, 90.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 81 છે.
∴ P (A) = 81/90 = 9/10
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : કાઢેલી તકતી પર પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય. 1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓમાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ 9 છેઃ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 9 છે.
∴ P (B) = 9/90 = 1/10
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : કાઢેલી તકતી પર 5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોય.
1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓમાં 5 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી 18 સંખ્યાઓ છે : 5, 10, 15, ….., 85, 90.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 18 છે.
∴ P (C) = 18/90 = 1/5
19. એક બાળક પાસે એક એવો પાસો છે, જેની છ સપાટીઓ નીચે આપેલા અક્ષરો બતાવે છે :
આ પાસાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે, પાસા પર ( 1 ) A મળે ( 2 ) D મળે તેની સંભાવના કેટલી?
પાસાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે તો તેની છ સપાટીઓ પૈકી કોઈ પણ એક સપાટી મળે.
∴ પાસો ઉછાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 6.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના X : પાસા પર બાળકને A મળે છે. પાસાની બે સપાટીઓ અક્ષર A બતાવે છે.
∴ ઘટના X ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
∴ P (X) = 1/2 = 1/3
( 2 ) ધારો કે, ઘટના Y : પાસા પર બાળકને D મળે છે. પાસાની એક સપાટી અક્ષર D બતાવે છે.‘
∴ ઘટના Y ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
∴ P (Y) = 1/6
20.ધારો કે, એક પાસાને તમે યાદચ્છિક રીતે આપેલ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે લંબચોરસ ક્ષેત્ર પર ફેંકો છો. તે 1 મી વ્યાસના વર્તુળની અંદર પડશે તેની સંભાવના કેટલી?
પાસો લંબચોરસ ક્ષેત્રમાં કોઈ પણ સ્થળે પડે તે સમસંભાવી ઘટના છે.
21. એક જથ્થો 144 બૉલપેન ધરાવે છે. તેમાંથી 20 ખામીયુક્ત અને બાકીની સારી છે. જો પેન સારી હશે, તો નૂરી પેન ખરીદશે, પરંતુ જો તે ખામીયુક્ત હશે તો ખરીદશે નહીં. દુકાનદાર યાદચ્છિક રીતે એક પેન કાઢે છે અને તેને આપે છે.
( 1 ) તે પેન ખરીદશે તેની સંભાવના કેટલી?
( 2 ) તે પેન નહીં ખરીદે તેની સંભાવના કેટલી?
જથ્થામાં કુલ 144 પેન છે. જેમાંની 20 પેન ખામીયુક્ત છે.
∴ સારી પેનની સંખ્યા = 144 – 20 = 124
દુકાનદાર 144 પેનના જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢે છે.
∴ એક પેન કાઢવાના પ્રયોગનાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 144.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : નૂરી પેન ખરીદશે.
પેન સારી હશે, તો જ નૂરી પેન ખરીદશે. સારી પેનની સંખ્યા 124 છે.
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 124 છે.
∴ P (A) = 124/144 = 31/36
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B: નૂરી પેન નહીં ખરીદે.
પેન ખામીયુક્ત હશે, તો નૂરી પેન નહીં ખરીદે.
ખામીયુક્ત પેનની સંખ્યા 20 છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 20 છે.
∴ P(B) = 20/144 = 5/36
નોંધ : અહીં, ઘટના B એ ઘટના Aની પૂરક ઘટના છે.
એટલે કે, B = Ā.
આથી P (B) = P (Ā) = 1 − P (A)
= 1 – 31/36 = 5/36
22. ઉદાહરણ 13 ના સંદર્ભમાં ( 1 ) નીચે આપેલ કોષ્ટક પૂરું કરો :
( 2 ) એક વિદ્યાર્થી દલીલ કરે છે કે, 11 શક્ય પરિણામો 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 અને 12 છે. તેમાંના પ્રત્યેકની સંભાવના 1/11 છે. શું આપ આ દલીલ સાથે સહમત છો? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
( 1 ) કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 6 × 6 = 36.
( 2 ) ના, વિદ્યાર્થીની દલીલ સાચી નથી. પ્રથમ તો, પાસા પરનો સરવાળો 2, 3, 4, …, 12 હોવો એ પ્રાથમિક ઘટનાઓ (પરિણામો) નથી, પરંતુ ઘટનાઓ છે. હકીકતમાં, આ પ્રયોગની પ્રાથમિક ઘટનાઓની (પરિણામો) સંખ્યા 36 છે. વધુમાં, પ્રયોગની 36 પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમસંભાવી હોવા છતાં, 11 ઘટનાઓ પૈકીની બધી જ ઘટનાઓ સમસંભાવી નથી.
23. એક રમતમાં એક રૂપિયાના સિક્કાને ૩ વાર ઉછાળવાનો છે અને તેના પરિણામ દરેક વખતે નોંધવાના છે. જો તમામ વખત સિક્કો ઉછાળતાં સરખું પરિણામ મળે, એટલે કે ત્રણ છાપ અથવા ત્રણ કાંટા, તો હનિફ રમત જીતી જાય છે અન્યથા હારે છે, તો નિફ રમત હારે તેની સંભાવનાની ગણતરી કરો.
એક રૂપિયાના સિક્કાને એક વાર ઉછાળવાના પ્રયોગમાં ફક્ત બે પરિણામો મળે છેઃ છાપ (H) અને કાંટો (T). એક રૂપિયાના સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવાના પ્રયોગમાં આપણને છાપ-છાપ- કાંટો જેવાં જુદાં જુદાં પરિણામો મળે છે. છાપ-છાપ-કાંટોને આપણે HHT વડે દર્શાવીએ.
હવે, એક રૂપિયાના સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવાના પ્રયોગનાં બધાં જ શક્ય પરિણામોને આપણે નીચે મુજબ નોંધી શકીએ :
બધી જ છાપ : HHH
બે છાપ : HHT, HTH, THH
એક છાપ : HTT, THT, TTH
એક પણ છાપ નહીં (બધા જ કાંટા) : TTT
∴ એક રૂપિયાના સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 8.
ધારો કે, ઘટના A : હનિફ રમત હારે છે.
અહીં, ત્રણેય વખત સરખું પરિણામ ન મળે તેવાં 6 પરિણામો છે : HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH.
24. પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે
( 1 ) એક પણ વખત ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે નહીં.
( 2 ) ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
[સૂચન : એક પાસાને બે વાર ઉછાળવો અને બે પાસાને એક- સાથે ઉછાળવા, એ બંનેને એક જ પ્રયોગ ગણવામાં આવે છે.]
એક પાસાને બે વાર ઉછાળવો અને બે પાસાને એકસાથે ઉછાળવા, એ બંને એક જ પ્રયોગ થાય. ફક્ત તે બેમાં સાંકેતિક રજૂઆતના અર્થ જુદા થાય. જેમ કે, એક પાસાને બે વાર ઉછાળવાના પ્રયોગમાં (1, 1)નો અર્થ એમ થાય કે, બંને વખત પાસા પર 1 મળે છે, પરંતુ બે પાસાને એક વા૨ ઉછાળવાના પ્રયોગમાં (1, 1)નો અર્થ એમ થાય કે બંને પાસા પર 1 મળે છે.
∴ એક પાસાને બે વખત ઉછાળવાના પ્રયોગનાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 36.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : એક પણ વખત ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે નહીં.
ઓછામાં ઓછો એક વખત 5 આવે તેવાં 11 પરિણામો (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (1,5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5).
માટે બાકીનાં 25 (36 – 11) પરિણામોમાં એક પણ વખત ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 નહીં મળે.
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 25 છે.
∴ P (A) = 25/36
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે.
ભાગ (1) માં દર્શાવ્યા મુજબ, એવાં 11 પરિણામો છે. જેમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 આવે છે.
∴ ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 11 છે.
∴ P (B) = 11/36
બીજી રીતે, અહીં ઘટના B એ ઘટના A ની પૂરક ઘટના છે. એટલે કે, B = Ā.
∴ P (B) = P (Ā) = 1 − P (A) = 1 – 25/36 = 11/36
25. નીચેનામાંથી કઈ દલીલો સાચી છે અને કઈ સાચી નથી? તમારા જવાબ માટે કારણો આપો :
( 1 ) જો બે સિક્કાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે, તો ત્રણ શક્યતાઓ મળે છે – બે છાપ અથવા બે કાંટા અથવા પ્રત્યેકનો એક. તેથી આ પ્રત્યેક પરિણામની સંભાવના 1/3 છે.
( 2 ) જો પાસાને ઉછાળવામાં આવે, તો બે શક્ય પરિણામો મળે છે : યુગ્મ સંખ્યા અથવા યુગ્મ સંખ્યા. તેથી અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના 1/2 છે.
( 1 ) આપેલ દલીલ સાચી નથી. જ્યારે બે સિક્કાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે ત્યારે ત્રણ ઘટનાઓ મળે છે, પરંતુ પરિણામો ચાર મળે છે. કારણ કે, ઘટના ‘છાપ અને કાંટો બંને એક-એક’ બે પરિણામો HT અને TH દ્વારા બને છે. આથી ઘટનાઓ ‘બે છાપ’, ‘બે કાંટા’ અને ‘એક છાપ તથા એક કાંટો’ની સંભાવના અનુક્રમે 1/4, 1/4 અને 1/2 મળે છે.
( 2 ) આપેલ દલીલ સાચી છે. જો પાસાને એક વખત ઉછાળવામાં ) આવે, તો છ શક્ય પરિણામો 1, 2, 3, 4, 5 અને 6 મળે છે. હવે, તે પરિણામો પૈકી ત્રણ પરિણામો અયુગ્મ સંખ્યા 1, 3, 5 બતાવે છે, જ્યારે બાકીનાં ત્રણ પરિણામો યુગ્મ સંખ્યા 2, 4, 6 બતાવે છે. આથી અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના 3/6 = 1/2 થાય.
મહત્ત્વનાં અન્ય ઉદાહરણો
1. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ લીપ વર્ષ ન હોય તેવા વર્ષ માટે નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :
( 1 ) તે વર્ષમાં 52 રવિવાર હોય.
( 2 ) તે વર્ષમાં 53 રવિવાર હોય.
લીપ વર્ષ ન હોય તેવા કોઈ પણ વર્ષમાં દિવસોની સંખ્યા = 365
365 દિવસ = 364 દિવસ + 1 દિવસ
= 52 અઠવાડિયાં + 1 દિવસ
52 અઠવાડિયાં ઉપરાંતના એક દિવસે અઠવાડિયાંના 7 વાર પૈકી કોઈ પણ વાર હોઈ શકે. માટે શક્ય બધાં જ પરિણામોની સંખ્યા = 7.
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : તે વર્ષમાં 52 રવિવાર હોય.
આ ત્યારે જ શક્ય છે કે, જ્યારે 52 અઠવાડિયાં ઉપરાંતના દિવસે અઠવાડિયાંના 7 વાર પૈકી રવિવાર સિવાયના બાકીના 6 વાર પૈકીનો કોઈ પણ વાર હોય.
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 થાય.
∴ P (A) = 6/7
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B: તે વર્ષમાં 53 રવિવાર હોય.
આ ત્યારે જ શક્ય છે કે, જ્યારે 52 અઠવાડિયાં ઉપરાંતના દિવસે રવિવાર હોય.
∴ ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 થાય.
∴ P (B) = 1/7
2. 52 પત્તાંના ઢગમાંથી કાળા રંગના એક્કો, રાજા, રાણી તથા ગુલામ દૂર કરવામાં આવે છે. બાકીનાં પત્તાંમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે. ખેંચેલા પત્તાંસંબંધી નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :
( 1 ) તે પત્તું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું હોય.
( 2 ) તે પત્તું લાલ રંગનું હોય.
( 3 ) તે પત્તું કાળા રંગનું હોય.
52 પત્તાંના ઢગમાંથી 26 પત્તાં કાળા રંગના અને 26 પત્તાં લાલ રંગના હોય છે.
હવે, દૂર કરેલ પત્તાંઓની સંખ્યા
= 2 (એક્કા) + 2 (રાજા) + 2 (રાણી) + 2 (ગુલામ) = 8
∴ બાકી રહેલાં પત્તાંની કુલ સંખ્યા = 52 – 8 = 44
∴ એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવાના પ્રયોગનાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 44
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : તે પત્તું મુખમુદ્રાવાળું હોય.
બાકી રહેલાં 44 પત્તાંમાં મુખમુદ્રાવાળાં પત્તાની સંખ્યા = 2 (રાજા) + 2 (રાણી) + 2 (ગુલામ) = 6
∴ ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 છે.
∴ P (A) = 6/44 = 3/22
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B: તે પત્તું લાલ રંગનું હોય.
મૂળ 52 પત્તાંમાંથી લાલ રંગનું એક પણ પત્તું દૂર કરેલ નથી.
∴ 44 પત્તાં પૈકી લાલ રંગનાં પત્તાંની સંખ્યા = 26
∴ ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 26 છે.
∴ P (B) = 26/44 = 13/22
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : તે પત્તું કાળા રંગનું હોય.
મૂળ 52 પત્તાંમાંથી 8 કાળા રંગનાં પત્તાં દૂર કરવામાં આવેલ છે.
∴ 44 પત્તાં પૈકી કાળા રંગનાં પત્તાંની સંખ્યા = 26 – 8 = 18
∴ ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 18 છે.
∴ P (C) = 18/44 = 9/22
3. પીટર બે પાસા એકસાથે ફેંકે છે અને તે બે પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને પરિણામ મેળવે છે. રીના એક જ પાસો ફેંકે છે અને પાસા પર મળતી સંખ્યાનો વર્ગ કરીને પરિણામ મેળવે છે. પરિણામ તરીકે સંખ્યા 25 મેળવવાની તક કોના માટે વધારે છે?
જે વ્યક્તિને સંખ્યા 25 મળવાની સંભાવના વધારે હોય તેની તક વધુ છે.
જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે મળતાં પરિણામોની સંખ્યા 36 થાય અને બે પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ઓછામાં ઓછા 1 (1 × 1) અને વધુમાં વધુ 36 (6 × 6) થાય. તે 36 પરિણામો પૈકી માત્ર એક જ પરિણામ (5, 5) માં બે પાસા પ૨ના અંકોનો ગુણાકાર 25 થાય.
∴ P1 = પીટરને પરિણામ 25 મળે તેની સંભાવના = 1/36.
રીના એક પાસો ફેંકે છે. આથી તેને 1, 2, 3, 4, 5, 6 પૈકી કોઈ પણ એક સંખ્યા મળે.
∴ રીના માટે મળતાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા = 6.
જો રીનાને 5 મળે, તો તેનો વર્ગ કરતાં તેનું પરિણામ 25 થાય.
∴ રીના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 1
∴ P2 = રીનાને પરિણામ 25 મળે તેની સંભાવના = 1/6
સ્પષ્ટ છે કે, 1/6 > 1/36, એટલે કે, P2 > P1.
આમ, પરિણામ તરીકે સંખ્યા 25 મેળવવાની તક રીના માટે વધારે છે.
સ્વાધ્યાય – 15.2
* આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષાના હેતુથી બનાવેલ નથી.
1. બે ગ્રાહકો શ્યામ અને એકતા એક જ અઠવાડિયામાં (મંગળવારથી શનિવાર) કોઈ ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. દરેક વ્યક્તિ કોઈ પણ દિવસે દુકાનની મુલાકાત, અન્ય દિવસની જેમ જ લે છે. બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત ( 1 ) એક જ દિવસે ( 2 ) ક્રમિક (એક પછી એક) દિવસોએ ( 3 ) જુદા જુદા દિવસોએ લેશે તેની સંભાવના કેટલી?
ઉપરના કોષ્ટકમાં (શુ, બુ) એમ દર્શાવે છે કે, એકતા શુક્રવારે અને શ્યામ બુધવારે ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. તે જ રીતે, (મં, ગુ) દર્શાવે છે કે એકતા મંગળવારે અને શ્યામ ગુરુવારે દુકાનની મુલાકાત લે છે.
∴ કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 5 × 5 = 25
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત એક જ દિવસે લેશે.
ઘટના Aને સાનુકૂળ હોય તેવાં પરિણામો (મં, મં), (બુ, બુ), (ગુ, ગુ), (શુ, શુ) અને (શ, શ) છે.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 છે.
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B : બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત ક્રમિક દિવસે લેશે.
ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામો (મં, બુ), (બુ, મં), (બુ, ગુ), (ગુ, બુ), (ગુ, શુ), (શુ, ગુ), (શુ, શ) અને (શ, શુ) છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 છે.
( 3 ) ધારો કે, ઘટના C : બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત જુદા જુદા દિવસે લેશે.
2. પાસા પર સંખ્યાઓ એ રીતે લખવામાં આવી છે કે તેનાં પૃષ્ઠ, સંખ્યાઓ 1, 2, 2, 3, 3, 6દર્શાવે છે. તે પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને બંને પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કોષ્ટકમાં નોંધી, તે પૂર્ણ કરો :
કુલ સરવાળો ( 1 ) યુગ્મ મળે ( 2 ) 6 મળે ( 3 ) ઓછામાં ઓછો 6 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
અહીં, કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 6 × 6 = 36
( 1 ) ધારો કે, ઘટના A : કુલ સરવાળો યુગ્મ મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો યુગ્મ એટલે કે 2, 4, 6, 8 અથવા 12 હોય તેવાં 18 પરિણામો છે. દરેક હારમાં ત્રણ અથવા દરેક સ્તંભમાં ત્રણ.
∴ ઘટના Aને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 18
( 2 ) ધારો કે, ઘટના B: કુલ સરવાળો 6 મળે.
કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો 6 મળે તેવાં 4 પરિણામો છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 4
( 3 ) ધારો કે, ઘટના Cઃ કુલ સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6 મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6, એટલે કે 6, 7, 8, 9, 12 હોય તેવાં 15 પરિણામો છે.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 15
3. એક થેલામાં 5 લાલ દડા અને કેટલાક વાદળી (ભૂરા) દડા છે. જો ભૂરો દડો નીકળવાની સંભાવના લાલ દડો નીકળે તેની સંભાવના કરતાં બમણી હોય, તો થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાઓની સંખ્યા શોધો.
ધારો કે, ભૂરા દડાની સંખ્યા x છે.
∴ થેલામાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા = 5 + x
આમ, લાલ દડાની સંખ્યા = 5, ભૂરા દડાની સંખ્યા = x અને કુલ દડાની સંખ્યા = 5 + x.
આથી એક દંડો નીકાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 5 + x, ભૂરો દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = x અને લાલ દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 5.
આમ, થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાની સંખ્યા 10 છે.
4. એક પેટીમાં 12 દડા છે. તેમાંના ૪ દડા કાળા છે. જો પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે કાળો દડો હોય તેની સંભાવના કેટલી?
જો બીજા 6 કાળા દંડા પેટીમાં મૂક્વામાં આવે, તો કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના હવે પહેલાં હતી તેના કરતાં બમણી થાય છે, તો x શોધો.
પેટીમાંના કુલ દડાની સંખ્યા 12 અને કાળા દડાની સંખ્યા = x આથી પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામો =12 અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામો = x થાય.
5. એક બરણીમાં 24 લખોટીઓ છે. કેટલીક લીલી અને બાકીની ભૂરી છે. બરણીમાંથી જો એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે લીલી હોય તેની સંભાવના ૐ છે. બરણીમાંથી ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા શોધો.
ધારો કે, બરણીમાં x ભૂરી લખોટીઓ છે.
∴ બરણીમાં 24 – x લીલી લખોટીઓ છે.
બરણીમાંની કુલ લખોટીઓની સંખ્યા = 24 અને બરણીમાંની લીલી લખોટીઓની સંખ્યા = 24 – x છે.
આમ, બરણીમાંની ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા 8 છે.
હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
1. પ્રત્યેક વિધાન સાચું બને એ રીતે નીચેનાં વિધાનોની ખાલી જગ્યા પૂરો :
( 1 ) જે ઘટના ચોક્કસપણે ઉદ્ભવે છે, તે ઘટનાની સંભાવના ……… થાય.
( 2 ) જે ઘટના ઉદ્ભવવી અશક્ય છે, તે ઘટનાની સંભાવના ……… થાય.
( 3 ) જો ઘટના ‘A નહીં’ની સંભાવના q હોય, તો ઘટના ‘A’ની સંભાવના ………. હોય.
( 4 ) જો P (A) = 3/4, તો P (Ā) = ………
( 5 ) જાન્યુઆરી મહિનામાં 5 રવિવાર હોય તેની સંભાવના ……… થાય.
( 6 ) મુકેશને એક લૉટરીનું પ્રથમ ઇનામ જીતવાની સંભાવના 0.07 છે. જો કુલ 6000 ટિકિટ વેચાઈ હોય, તો મુકેશે કુલ ……… ટિકિટ ખરીદી હશે.
2. દરેક પ્રશ્નની નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરીને જવાબ લખો :
( 1 ) કોઈ ઘટનાની સંભાવના ……… હોય તે શક્ય નથી.
A. 2/3
B. 0.7
C. 0.15
D. 1.5
( 2 ) બે મિત્રોનો જન્મ ઈ. સ. 2000માં થયો હતો. તે મિત્રોનો જન્મદિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના …… થાય.
( 3 ) અંગ્રેજીના 26 મૂળાક્ષરોમાંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરતાં તે સ્વર હોય તેની સંભાવના ….. થાય.
( 4 ) એક સમતોલ પાસાને ઉછાળતાં તેની પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના ……… થાય.
( 5 ) જો P (A) : P (Ā) = 3 : 5, હોય, તો P (A) = ………
( 6 ) લીપ વર્ષમાં 53 રવિવાર આવે તેની સંભાવના …….. છે.
( 7 ) બરાબર ચીપેલાં 52 પત્તાંના ઢગમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરતાં તે પત્તુ કાળા રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું હોય તેની સંભાવના ……… છે.
( 8 ) PROBABILITY શબ્દના અક્ષરોમાંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે અક્ષર સ્વર હોવાની સંભાવના ……… છે.
( 9 ) લૉટરીની એક હજાર ટિકિટોમાં કુલ 50 ઇનામો વહેંચવાના છે. જો મનિષે તે લૉટરીની એક ટિકિટ ખરીદેલ હોય, તો તેને ઇનામ મળે તેની સંભાવના ……… છે.
(10) લઘુગણકના કોષ્ટકમાંથી એક અંક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તે અંક ૦ અથવા 9 હોય તેની સંભાવના ……… છે.
3. નીચેના દરેક પ્રશ્નનો એક શબ્દ, સંખ્યા અથવા વાક્યમાં જવાબ લખો :
( 1 ) 400 ખમીસોના એક જથ્થામાંથી ખામીયુક્ત ખમીસ પસંદ થાય તેની સંભાવના 0.035 છે. જથ્થામાં રહેલ ખામીયુક્ત ખમીસોની સંખ્યા શોધો.
( 2 ) 1થી 100 સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ એક સંખ્યા અવિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના શોધો.
( 3 ) એક છોકરીએ લૉટરીની અમુક ટિકિટો ખરીદ્યા બાદ ગણતરી કરી કે, તેને પ્રથમ ઇનામ મળે તેની સંભાવના 0.08 છે. જો લૉટરીમાં કુલ 6000 ટિકિટો વેચાઈ હોય, તો તે છોકરીએ કેટલી ટિકિટો ખરીદી હશે?
( 4 ) જો P (A) – P (Ā) = 0.2 હોય, તો P (A) શોધો.
( 5 ) 50 ગુણની પરીક્ષામાં આહાનને 35 ગુણ મળે તેની સંભાવના શોધો.
4. નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે લખો :
( 1 ) કોઈ પણ ઘટના A માટે, P (Ā) < P (A) થાય
( 2 ) બધી જ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 થાય.
( 3 ) જો P (A) : P (Ā) = 3 : 7 હોય, તો P (Ā) = 0.3.
( 4 ) કોઈ ઘટના A માટે P (A) = P (Ā) થાય તે શક્ય છે.
( 5 ) 2020ની સાલમાં 53 સોમવાર આવે તેની સંભાવના 3/7 છે.
हमसे जुड़ें, हमें फॉलो करे ..
- Telegram ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Facebook पर फॉलो करे – Click Here
- Facebook ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Google News ज्वाइन करे – Click Here