Gujarat Board | Class 10Th | Mathematics | Model Question Paper & Solution | Chapter – 5 Arithmetic Progressions (સમાંતર શ્રેણી)
Gujarat Board | Class 10Th | Mathematics | Model Question Paper & Solution | Chapter – 5 Arithmetic Progressions (સમાંતર શ્રેણી)
સ્વાધ્યાય – 5.1
1. નીચે આપેલ સ્થિતિમાંથી કઈ સ્થિતિમાં સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બને અને કેમ?
( 1 ) ટેક્સીનું ભાડું, પ્રથમ કિલોમીટર માટે ₹ 15 અને પછીના વધારાના પ્રત્યેક કિલોમીટર માટે ₹ 8 છે.
( 2 ) નળાકારમાં રહેલ હવાનું પ્રમાણ, હવા કાઢવાના પંપ દ્વારા દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલ હવાનો 1/4 ભાગ બહાર કાઢે છે.
( 3 ) પ્રત્યેક મીટરના ખોદકામ બાદ, એક કૂવો ખોદવા માટે લાગતો ખર્ચ, પ્રથમ મીટરના ₹ 150 અને પછીના પ્રત્યેક મીટરદીઠ ₹ 50 પ્રમાણે વધતો જાય છે.
( 4 ) 8%ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ દરથી શરૂઆતની રકમ ₹ 10000 મૂકેલ હોય તો દર વર્ષે ખાતામાં જમા રહેતી રકમ (રાશ).
( 1 ) અહીં, 1 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15,
2 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + ₹ 8 = ₹ 23,
3 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + 2 (₹ 8) = ₹ 31,
4 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + 3 (₹ 8) = ₹ 39, …
આમ, બનતી સંખ્યાઓની યાદી 15, 23, 31, 39, ….. છે.
અહીં, a2 − a1 = 23 – 15 = 8,
a3 − a2 = 31 – 23 = 8,
a4 − a3 = 39 – 31 = 8, ….
આમ, ak + 1 –ak હંમેશાં સમાન રહે છે. આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જેમાં a = 15 અને d = 8 છે.
( 2 ) ધારો કે, શરૂઆતમાં નળાકારમાં રહેલ હવાનું પ્રમાણ V એકમ છે. તો પ્રથમ પ્રયત્ન બાદ નળાકારમાં બાકી રહેતી હવાનું પ્રમાણ = 3/4 V એકમ થાય. વળી, દ્વિતીય પ્રયત્ન બાદ નળાકારમાં બાકી રહેતી હવાનું પ્રમાણ = (3/4)2 V એકમ થાય. અહીં, સંખ્યાઓની યાદી નીચે પ્રમાણે બને :
આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જેમાં a = 150 અને d = 50 છે.
( 4 ) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેનું સૂત્ર આપણે જાણીએ છીએ.
2. જ્યારે પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d નાં મૂલ્યો નીચે પ્રમાણે હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધોઃ
3. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો :
4. નીચેનામાંથી કઈ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી બનાવે, તો સામાન્ય તફાવત ત અને પછીનાં ત્રણ પદ લખો.
મહત્ત્વનાં અન્ય ઉદાહરણો
1. જો k + 1, 3k અને 4k + 2 એ કોઈ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય, તો kની કિંમત શોધો.
2. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે a અને d શોધો :
3. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે તુ શોધો તથા પછીનાં ત્રણ પદ લખો :
પાઠ્યપુસ્તકનાં ઉદાહરણો
3. સમાંતર શ્રેણી 2, 7, 12, …નું 10મું પદ શોધો.
અહીં, a = 2; d = 7 – 2 = 5 અને n = 10
હવે, an = a + (n – 1 ) d
∴ a10 = 2 + (10 – 1) × 5 = 2 + 45 = 47
આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 10મું પદ 47 છે.
4. સમાંતર શ્રેણી 21, 18, 15, …નું કયું પદ – 81 હશે? વળી, કોઈ પદ 0 હશે? સકારણ જવાબ આપો.
5. જેનું ત્રીજું પદ 5 અને 7મું પદ 9 હોય એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો.
6. ચકાસો કે 301 એ 5, 11, 17, 23, … સંખ્યાની યાદીનું કોઈ પદ છે કે નહીં?
પરંતુ, n એ પદનો ક્રમાંક હોવાથી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોવો જોઈએ.
આથી આપેલ યાદીનું કોઈ પણ પદ 301 ના હોઈ શકે.
7. બે અંકની કેટલી સંખ્યાઓ ૩ વડે વિભાજ્ય હશે?
3 વડે વિભાજ્ય બે અંકની સંખ્યાઓ : 12, 15, 18, ……. , 99 છે.
8. સમાંતર શ્રેણી 10, 7, 4, ….. , –62માં છેલ્લેથી (પ્રથમ પદ તરફ) 11મું પદ શોધો.
9. ₹ 1000ની રકમ 8% વાર્ષિક સાઘ્ધ વ્યાજ પર મૂકવામાં આવે છે. દરેક વર્ષને અંતે મળતાં વ્યાજની ગણતરી કરો. શું આ વ્યાજ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે? જો હા, તો 30 વર્ષના અંતે મળતા વ્યાજની ગણતરી કરો.
10. ફૂલોની એક ક્યારીમાં પ્રથમ હારમાં 23 ગુલાબના છોડ, બીજી હારમાં 21 ગુલાબના છોડ, ત્રીજી હારમાં 19 ગુલાબના છોડ, વગેરે છે. તેની છેલ્લી હારમાં 5 ગુલાબના છોડ છે. આ ક્યારીમાં કુલ કેટલી હાર હશે?
સ્વાધ્યાય – 5.2
1. નીચેના કોષ્ટકમાં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a, સામાન્ય તફાવત d અને nમું પદ an છે. ખાલી જગ્યા પૂરો :
3. નીચેની સમાંતર શ્રેણીમાં ખાલી ખાનાનાં પદ શોધો :
4. સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, …નું કેટલામું પદ 78 થાય?
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, …નું nમું પદ 78 થાય.
5. નીચેની સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા શોધો :
6. શું સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2 …નું કોઈ પદ – 150 હોઈ શકે?
શક્ય હોય, તો ધારો કે સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, …નું nમું પદ – 150 છે.
7. સમાંતર શ્રેણીનું 11મું પદ 38 અને 16મું પદ 73 હોય, તો તેનું 31મું પદ શોધો.
8. એક સમાંતર શ્રેણીમાં 50 પદ છે. જો ત્રીજું પદ 12 અને છેલ્લું પદ 106 હોય, તો તેનું 29મું પદ શોધો.
આપેલ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં 50 પદ છે અને તેનું છેલ્લું પદ 106 છે.
∴ a50 = 106 અને a3 = 12
હવે, an = a + (n – 1) d
∴ a3 = a + 2d = 12 …… (1)
અને a50 = a + 49d = 106 …… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
d = 2 અને a = 8 મળે.
હવે, 29મું પદ = a29 = a + 28d
∴ a29 = 8 + 28 (2)
∴ a29 = 64
આમ, આપેલ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીનું 29મું પદ 64 છે.
9. જો સમાંતર શ્રેણીનું ત્રીજું અને નવમું પદ અનુક્રમે 4 અને −8 હોય, તો તે શ્રેણીનું કયું પદ 0 થાય?
આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે a3 = 4 અને a9 = – 8
હવે, an = a + (n – 1) d
∴ a3 = a + 2d = 4 …… (1)
અને a9 = a + 8d = – 8 …… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
d =− 2 અને a = 8 મળે.
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ 0 છે.
an = a + (n – 1) d
∴ 0 = 8 + (n – 1) (– 2)
∴ 2 (n – 1) = 8
∴ n – 1 = 4
∴ n = 5
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 5મું પદ 0 હોય.
10. કોઈ સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10મા પદ કરતાં 7 વધુ છે. તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો.
આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે,
a17 = a10 + 7
∴ a + 16d = a + 9d + 7 (‘.’ an = a + (n – 1) d)
∴ 7d = 7
∴ d = 1
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત 1 છે.
11. સમાંતર શ્રેણી 3, 15, 27, 39, …નું કયું પદ 54મા પદ કરતાં 132 વધુ હશે?
આપેલ સમાંતર શ્રેણી 3, 15, 27, 39, ….. માટે,
a = 3 અને d = 15 – 3 = 12.
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ તેના 54મા પદ કરતાં 132 વધુ છે.
∴ an = a54 + 132
∴ a + (n – 1) d = a + 53d + 132
∴ 3 + (n-1) (12) = 3 + 53 (12) + 132
∴ 12(n – 1) = 12 (53 + 11)
∴ 12 (n – 1) = 12 × 64
∴ n − 1 = 64
∴ n = 65
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 65મું પદ તેના 54મા પદ કરતાં 132 વધુ હોય.
12. બે સમાંતર શ્રેણીના સામાન્ય તફાવત સમાન છે. તેમના 100મા પદનો તફાવત 100 હોય, તો 1000મા પદનો તફાવત કેટલો હશે?
ધારો કે, બે સમાંતર શ્રેણીઓના પ્રથમ પદ અનુક્રમે a1 અને a2 (a1 > a2) છે અને તેમનો સમાન સામાન્ય તફાવત d છે.
સમાંતર શ્રેણી માટે nમું પદ an = a + (n − 1) d
તો, પ્રથમ સમાંતર શ્રેણીનું 100મું પદ = a1 + 99d
અને બીજી સમાંતર શ્રેણીનું 100મું પદ =a2 + 99d
તેમના 100મા પદનો તફાવત 100 છે.
∴ (a1 + 99d) – (a2 + 99d) = 100 (‘.’ a1 > a2)
∴ a1 – a2 = 100 … … (1)
હવે, પ્રથમ સમાંતર શ્રેણીનું 1000મું પદ = a1 + 999d
અને બીજી સમાંતર શ્રેણીનું 1000મું પદ = a2 + 999d
આથી તેમના 1000મા પદનો તફાવત
= (a1 + 999d) – (a2 + 999d)
= a1 – a2
= 100 ((1) મુજબ)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીઓના 1000મા પદનો તફાવત 100 છે.
13. ત્રણ અંકની કેટલી સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય હશે?
ત્રણ અંકની 7 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી નીચે મુજબ છે :
105, 112, 119, …, 987, 994
આ યાદી એક સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે છે. જેમાં a = 105, d = 112 – 105 = 7 અને અંતિમ પદ l = 994 છે.
ધારો કે, અંતિમ પદ એ શ્રેણીનું nમું પદ છે.
∴ l = an
∴ 994 = a + (n – 1) d
∴ 994 = 105 + (n – 1) 7
∴ 7 (n – 1) = 889
∴ n – 1 = 127
∴ n = 128
આથી દર્શાવેલ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 128 પદ છે. આથી ત્રણ અંકની 128 સંખ્યાઓ 7 વડે વિભાજ્ય હોય.
14. 10 અને 250 વચ્ચે 4ના કેટલા ગુણિત હશે?
10 અને 250 વચ્ચેના 4ના ગુણિતો નીચેની યાદી રચે છે :
12, 16, 20, …….. , 244, 248
આ યાદી એક સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે છે, જેમાં a = 12, d = 16 – 12 = 4 અને અંતિમ પદ l = 248 છે.
ધારો કે, અંતિમ પદ એ શ્રેણીનું nમું પદ છે.
∴ l = an
∴ l = a + (n – 1) d
∴ 248 = 12 + (n – 1)
∴ 236 = 4 (n – 1)
∴ n – 1 = 59
∴ n = 60
આથી દર્શાવેલ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 60 પદ છે. આથી 10 અને 250ની વચ્ચે 4ના 60 ગુણિત છે.
15. nના કયા મૂલ્ય માટે બે સમાંતર શ્રેણીઓ 63, 65, 67, … અને 3, 10, 17, …ના nમા પદ સમાન થાય?
પહેલી સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, .. માટે,
a = 63 અને d = 65 – 63 = 2.
તો, પહેલી સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ
an = a + (n – 1) d = 63 + (n – 1) (2) થાય.
બીજી સમાંતર શ્રેણી 3, 10, 17, …… માટે,
A = 3, D = 10 – 3 = 7
તો બીજી સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ = An = A + (n − 1) D
= 3 + (n – 1) (7) થાય.
હવે, an = An
∴ 63 + (n – 1) (2) = 3 + (n – 1) (7)
∴ 63 – 3 = (n – 1) (7 – 2)
∴ 60 = 5 (n – 1)
∴ n – 1 = 12
∴ n = 13
આમ, n = 13, માટે આપેલ બે સમાંતર શ્રેણીઓના nમા પદ સમાન થાય.
16. એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો કે જેનું ત્રીજું પદ 16 અને 7મું પદ 5મા પદથી 12 વધુ હોય.
17. સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, …. , 253 હોય તો તેનું છેલ્લેથી 20મું પદ શોધો.
18. એક સમાંતર શ્રેણીનાં ચોથા અને આઠમા પદનો સરવાળો 24 છે. અને છઠ્ઠા અને દસમા પદનો સરવાળો 44 છે. આ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદ શોધો.
19. સુબ્બા રાવે 1995માં ₹ 5000ના વાર્ષિક વેતનથી કામ શરૂ કર્યું અને તેમને દર વર્ષે ₹ 200ની વેતન વૃદ્ધિ મળે છે. કયા વર્ષે તેમનું વેતન ₹ 7000 થશે?
∴ n – 1 = 10
∴ n = 11
આમ, 11મા વર્ષે એટલે કે વર્ષ 2005માં સુબ્બા રાવનું વેતન ₹ 7000 થશે.
20, રામકલી વર્ષના પ્રથમ અઠવાડિયે ₹ 5ની બચત કરે છે. અને પછી તેની અઠવાડિક બચતમાં ₹ 1.75નો વધારો કરે છે. જો nમા અઠવાડિયે તેની બચત ₹ 20.75 હોય, તો nનું મૂલ્ય શોધો.
મહત્ત્વનાં અન્ય ઉદાહરણો
1. સાન્ત સમાંતર શ્રેણી 4, 9, 14, …, 254નું છેલ્લેથી 10મું પદ શોધો.
2. એક સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 1/2 અને આઠમું પદ 17/6 છે. તો તે શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત તથા ચોથું પદ શોધો.
3. સમાંતર શ્રેણી 8, 14, 20, 26, …નું કેટલામું પદ તેના 41મા પદથી 72 વધુ હોય ?
4. સમાંતર શ્રેણી 45, 41, 37, 33, …નું કેટલામું પદ તેનું પ્રથમ ઋણ પદ છે?
પાઠ્યપુસ્તકનાં ઉદાહરણો
11. સમાંતર શ્રેણી 8, 3, − 2, …નાં પ્રથમ 22 પદનો સરવાળો શોધો.
12. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 14 પદોનો સરવાળો 1050 હોય અને તેનું પ્રથમ પદ 10 હોય, તો તે શ્રેણીનું 20મું પદ શોધો.
13. સમાંતર શ્રેણી 24, 21, 18, ……. નાં કેટલાં પદોનો સરવાળો 78 થાય.
નોંધ :
( 1 ) આ ઉદાહરણમાં પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો = પ્રથમ 13 પદનો સ૨વાળો = 78.
( 2 ) આ બંને જવાબ શક્ય છે કેમ કે 5મા પદથી 13મા પદનાં મૂલ્યોનો સ૨વાળો 0 બને છે. આ શક્ય છે કેમ કે વનું મૂલ્ય ધન અને તનું મૂલ્ય ઋણ છે. આથી કેટલાંક પદ ધન અને બાકીનાં પદ ઋણ બનશે અને આથી કુલ સરવાળો 0 બનાવશે.
14. સરવાળો શોધો :
( 1 ) પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
( 2 ) પ્રથમ n ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
15. જો nમું પદ an = 3 + 2n હોય, તો સંખ્યાઓની આ યાદીનાં પ્રથમ 24 પદોનો સરવાળો શોધો.
16. ટીવી સેટના ઉત્પાદકે ત્રીજા વર્ષે 600 ટીવી અને 7મા વર્ષે 700 ટીવી બનાવ્યા છે. તે માને છે કે દરેક વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા એકસમાન વધતી હોવી જોઈએ, તો
( 1 ) પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન
( 2 ) 10મા વર્ષનું ઉત્પાદન
( 3 ) પ્રથમ 7 વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા શોધો.
દરેક વર્ષ ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા સમાન રીતે વધતી હોવાથી, પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય, ….. વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા એક સમાંતર શ્રેણી બનાવશે.
ધારો કે, nમા વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા an છે.
આથી a3 = 600 અને 17 = 700
અથવા a + 2d = 600 અને a + 6d = 700
સમીકરણો ઉકેલતાં, d = 25 અને a = 550 મળે છે.
સ્વાધ્યાય – 5.3
1. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે માગ્યા પ્રમાણે સરવાળો શોધો :
2. નીચેના સરવાળા શોધો : (સમાંતર શ્રેણી આપેલ છે.)
3. સમાંતર શ્રેણીમાં
4. સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, …નાં કેટલાં પદોનો સરવાળો 636 થાય?
5. સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 5, અંતિમ પદ 45 અને સરવાળો 400 છે. શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા અને સામાન્ય તફાવત શોધો.
6. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ પદ અને અંતિમ પદ અનુક્રમે 17 અને 350 છે. જો સામાન્ય તફાવત 9 હોય, તો તેમાં કેટલાં પદ હશે અને તેમનો સરવાળો કેટલો થશે?
7. જે સમાંતર શ્રેણીમાં d = 7 અને 22મું પદ 149 હોય, તેનાં 22 પદોનો સરવાળો શોધો.
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો 1661 થાય.
8. સમાંતર શ્રેણીનું બીજું અને ત્રીજું પદ અનુક્રમે 14 અને 18 હોય, તો તેનાં પ્રથમ 51 પદોનો સરવાળો શોધો.
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 51 પદોનો સરવાળો 5610 થાય.
9. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 7 પદોનો સરવાળો 49 અને 17 પદોનો સરવાળો 289 હોય, તો તેનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો.
10. an નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :
( 1 )an = 3 + 4n ( 2 )an = 9 – 5n
સાબિત કરો કે a1, a2, …. an … સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. વળી, દરેકમાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધો.
આમ, an = 3 + 4n દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થતી સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો 525 થાય.
આમ, an = 9 − 5n દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થતી સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો – 465 થાય.
11. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો 4n − n2 હોય, તો તેનું પ્રથમ પદ કર્યું હશે (અર્થાત્ S1)? પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કેટલો હશે? બીજું પદ કર્યું હશે? આ જ રીતે ત્રીજું, 10મું અને nમું પદ શોધો.
આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે,
12. 6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો. 6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 ધન પૂર્ણાંકો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
13. 8ના પ્રથમ 15 ગુણિતોનો સરવાળો શોધો.
8ના પ્રથમ 15 ગુણિતો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
8, 16, 24, …. 120.
14. 0 અને 50 વચ્ચેના અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.
0 અને 50 વચ્ચેના અયુગ્મ પૂર્ણાંકો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
1, 3, 5, …… , 49.
15. નિર્માણ કામ માટે થયેલ કરારમાં નિશ્ચિત તારીખ કરતાં વિલંબથી પૂરા થતા કામ માટે નીચે પ્રમાણેના દંડની જોગવાઈ છે :
પ્રથમ દિવસ માટે ₹ 200, બીજા દિવસ માટે ₹ 250, ત્રીજા દિવસ માટે ₹ 300, વગેરે. પ્રત્યેક દિવસ માટે દંડની રકમ આગળના દિવસ કરતાં ₹ 50 વધુ છે. જો કૉન્ટ્રાક્ટર 30 દિવસનો વિલંબ કરે, તો તેણે ભરવી પડતી દંડની રકમ શોધો.
પ્રત્યેક દિવસ માટેની દંડની રકમ (માં) નીચે મુજબની સમાંતર શ્રેણી રચે છે :
200, 250, 300, ……. .
અહીં, a = 200; d = 250 – 200 = 50 અને કૉન્ટ્રાક્ટરે 30 દિવસનો વિલંબ કરેલ હોવાથી n = 30 લેવાથી મળતા S30 જેટલી દંડની રકમ તેણે ભ૨વી પડે.
16. કોઈ એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓના સમગ્ર શૈક્ષણિક પ્રદર્શન માટે અપાતા 7 ઇનામો માટે કુલ ₹ 700ની જોગવાઈ કરવાની છે. જો પ્રત્યેક ઇનામ આગળના ઇનામ કરતાં ₹ 20 ઓછું હોય, તો પ્રત્યેક ઇનામની રકમ શોધો.
કુલ ₹ 700 સાત ઇનામોમાં વહેંચવાના છે. જેથી પ્રત્યેક ઇનામ આગળના ઇનામ કરતાં ₹ 20 ઓછું હોય. ધારો કે સૌથી મોટું ઇનામ, એટલે કે પહેલું ઇનામ ₹ aનું છે. આથી બીજું ઇનામ ₹ a–20નું, ત્રીજું ઇનામ ₹ a – 40નું એમ કુલ સાત ઇનામો થાય. આમ, આ ઇનામોમાં અપાતી રકમ (₹માં) નીચે પ્રમાણેની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
17. એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓ વાયુ-પ્રદૂષણ ઓછું કરવા માટે શાળાની અંદર અને બહાર વૃક્ષ વાવવાનું વિચારે છે. એવું નક્કી કરાયું કે પ્રત્યેક ધોરણનો પ્રત્યેક વિભાગ તે જે ધોરણમાં ભણતા હોય તેટલાં વૃક્ષ વાવશે. દાખલા તરીકે ધોરણ Iનો વિભાગ 1 વૃક્ષ, ધોરણ IIનો વિભાગ 2 વૃક્ષ અને આવું ધોરણ XII સુધી ચાલશે. દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે. આ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કેટલાં વૃક્ષનું વાવેતર થશે?
ધોરણ Iના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ = 1 + 1 + 1 = 3 વૃક્ષોનું વાવેતર કરશે.
ધોરણ IIના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ = 2 + 2 + 2 = 6 વૃક્ષોનું વાવેતર કરશે.
આ જ રીતે આગળ વધતાં, ધોરણ XIIના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ = 12 + 12 + 12 = 36 વૃક્ષોનું વાવેતર કરશે.
આમ, વાવેતર થતાં વૃક્ષોની સંખ્યા નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
3, 6, 9, ……. , 36.
અહીં, a = 3; d = 6 – 3 = 3; n = 12 અને S12ની કિંમત વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કેટલાં વૃક્ષનું વાવેતર થશે તે સંખ્યા આપે.
19. લાકડાની 200 ભારીઓ નીચે પ્રમાણે ગોઠવવામાં આવે છે : તળિયાની હારમાં 20 ભારી, તેની ઉપરની હારમાં 19 ભારી, તેની ઉપરની હારમાં 18 ભારીઓ વગેરે (જુઓ આકૃતિ).
આવી 200 ભારીઓ ગોઠવવા માટે કેટલી હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં કેટલી ભારીઓ થશે ?
સૌથી નીચેની હારમાં ગોઠવેલ ભારીની સંખ્યા = 20.
નીચેથી બીજી હારમાં ગોઠવેલ ભારીની સંખ્યા = 19.
નીચેથી ત્રીજી હારમાં ગોઠવેલ ભારીની સંખ્યા = 18.
આ મુજબ 200 ભા૨ીઓ ગોઠવાઈ જાય તેટલી હાર બનાવવામાં આવે છે.
આથી હારદીઠ ગોઠવાતી ભારીઓની સંખ્યા સાન્ત સમાંતર શ્રેણી 20, 19, 18, ……. , n પદ સુધી બનાવે છે, જેમાં n પદોનો સરવાળો 200 થાય.
અહીં, ગાણિતિક રીતે બંને જવાબ શક્ય છે. આથી આપણે 16મું પદ અને 25મું પદ શોધીને નિર્ણય લઈએ.
an = a + (n – 1) d
∴ a16 = 20 + 15 (− 1) = 5
∴ a25 = 20 + 24 (− 1) = − 4
આમ, 25મી હારમાં મુકાતી ભારીઓની સંખ્યા ઋણ થાય છે, જે શક્ય નથી.
∴ n = 16 અને a16 = 5.
આમ, 200 ભારીઓ ગોઠવવા માટે કુલ 16 હાર બનશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં 5 ભારીઓ મુકાશે.
20. એક બટાકા ઉપાડવાની હરીફાઈમાં આરંભબિંદુ પર એક ડોલ રાખેલ છે અને ત્યારબાદ તેનાથી 5મી દૂર પ્રથમ બટાકું મૂકેલ છે. ત્યારપછી દર ત્રણ મીટરે એક બટાકું સીધી રેખામાં ગોઠવેલ છે. આવા 10 બટાકા રેખા પર મૂકેલ છે. (જુઓ આકૃતિ)
દરેક હરીફે ડોલ પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકું ઉપાડી, પાછા આવી ડોલમાં નાખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું ડોલમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે?
[સૂચન : પ્રથમ અને દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર (મીટરમાં) 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]
પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર (મીટરમાં) = 2 × 5 = 10.
દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર (મીટરમાં) = 2 × (5 + 3) = 16.
તૃતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર (મીટરમાં) = 2 × (5+ 3 + 3) = 22.
આમ, 10 બટાકા ઉપાડવા માટે હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર 10 પદની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી
10, 16, 22, ……. , 10 પદ સુધી બનાવે છે.
સ્વાધ્યાય – 5.4
- આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષા માટે ધ્યાનમાં લેવાનું નથી.
1. સમાંતર શ્રેણી 121, 117, 113, …નું પ્રથમ ત્રણ પદ કયું હશે? (સૂચન : an < 0 થાય તેવો સૌથી નાનો n શોધો.)
2. કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ત્રીજા અને સાતમા પદનો સરવાળો 6 છે અને તેનો ગુણાકાર 8 છે. આ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદનો સરવાળો શોધો.
ધારો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d છે.
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદોનો સરવાળો 76 અથવા 20 થાય.
3. એક સીડીના બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 25 સેમી છે. (જુઓ આકૃતિ) સૌથી નીચેના પગથિયાની લંબાઈ 45 સેમી છે અને એકધારા ઘટાડા સાથે સૌથી ઉપરના પગથિયાની લંબાઈ 25 સેમી છે. સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 2½ મીટર હોય, તો પગથિયામાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ શોધો.
સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર = 2½ મી = 250 સેમી.
બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર = 25 સેમી.
∴ કુલ પગથિયાંની સંખ્યા = 250/25 + 1 = 11 જેમાં સૌથી ઉપરનું તથા સૌથી નીચેનું એમ બંને પગથિયાંનો સમાવેશ થાય.
સૌથી નીચેના એટલે કે, પહેલાં પગથિયાની લંબાઈ = 45 સેમી.
સૌથી ઉ૫૨ના, એટલે કે, 11મા પગથિયાની લંબાઈ = 25 સેમી.
પગથિયાંઓની લંબાઈ એકધારી ઘટે છે.
આથી પગથિયાંઓની લંબાઈ (સેમીમાં) સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે છે, જેમાં પ્રથમ પદ = 45 અને 11મું (અંતિમ) પદ = 25.
an = a + (n – 1) d
∴ a11 = a + 10 d
∴ 25 = 45 + 10 d
∴ − 20 = 10 d
∴ d = − 2
આમ, નીચેથી ઉપર જતાં પગથિયાંની લંબાઈ એકધારી રીતે (પગથિયાં દીઠ) 2 સેમી ઘટે છે. આથી પગથિયાંઓની લંબાઈ (સેમીમાં) 11 પદવાળી નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
45, 43, 41, ……., 25
આ શ્રેણીનાં બધાં જ 11 પદોનો સરવાળો શોધતાં પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ મળે.
4. એક હારમાં આવેલાં મકાનોને ક્રમશઃ 1થી 49 ક્રમાંક આપેલ છે. સાબિત કરો કે, એવી સંખ્યા x મળે કે જેથી તેની આગળના મકાનના ક્રમાંકોનો સરવાળો તે પછીનાં મકાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા જેટલો થાય. xનું મૂલ્ય શોધો. [સૂચનઃ Sx-1 = S49 – Sx]
5. ફૂટબૉલના એક મેદાનમાં 15 પગથિયાંવાળી નાની અગાસી છે. તે પ્રત્યેકની લંબાઈ 50 મી છે અને તે નક્કર કોંક્રિટના બનાવેલ છે. દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ 1/4 મી તથા પહોળાઈ 1/2 મી છે (જુઓ આકૃતિ). આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ કેટલા ઘનફળ કોંક્રિટની જરૂર પડશે?
હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
1. પ્રત્યેક વિધાન સાચું બને એ રીતે નીચેનાં વિધાનોમાં ખાલી જગ્યા પૂરો :
2. દરેક પ્રશ્નની નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરીને જવાબ લખો :
3. નીચેના દરેક પ્રશ્નનો એક શબ્દ, સંખ્યા અથવા વાક્યમાં જવાબ આપો :
4. નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે લખો :
हमसे जुड़ें, हमें फॉलो करे ..
- Telegram ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Facebook पर फॉलो करे – Click Here
- Facebook ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Google News ज्वाइन करे – Click Here