Gujarat Board | Class 9Th | Model Question Paper & Solution | Mathematics | Chapter – 1 સંખ્યા પદ્ધતિ

June 15, 2024 goluchydss1 60 Views 0 Comments

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Gujarat Board | Class 9Th | Model Question Paper & Solution | Mathematics | Chapter – 1 સંખ્યા પદ્ધતિ

સ્વાધ્યાય – 1.1

1. શું શૂન્ય એ એક સંમેય સંખ્યા છે? શું તમે p પૂર્ણાંક તથા q શૂન્યેતર પૂર્ણાંક હોય તેવા p, q માટે p/q સ્વરૂપમાં લખી શકશો?

હા. શૂન્ય એક સંમેય સંખ્યા છે. શૂન્ય એ પૂર્ણ સંખ્યા પણ છે તથા પૂર્ણાંક સંખ્યા પણ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક પૂર્ણ સંખ્યા તેમજ દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે જ. આમ, શૂન્ય પણ સંમેય સંખ્યા છે.

શૂન્યને p/q સ્વરૂપમાં અનેક રીતે લખી શકાય; જેમ કે 0/5, 0/11, 0/-3, … ટૂંકમાં, 0/q જ્યાં q એ શૂન્યેતર પૂર્ણાંક છે, એ શૂન્યનું p/q સ્વરૂપ છે.

2. 3 અને 4 વચ્ચેની છ સંમેય સંખ્યાઓ શોધો.

3 અને 4 વચ્ચેની છ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની હોવાથી આપણે બંને સંખ્યાઓ 3 અને 4ને છેદમાં 7 (6 + 1) આવે તેવી સમાન સંમેય સંખ્યા તરીકે દર્શાવીએ.

4 વચ્ચેની અનંત સંમેય સંખ્યાઓ પૈકીની છ સંમેય સંખ્યાઓ છે. બીજી રીતે, 3 = 3.0 અને 4 = 4.0 લેતાં 3 અને 4 વચ્ચેની છ સંમેય સંખ્યાઓ તરીકે 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 લઈ શકાય.

કોઈ પણ બે સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ મળતી હોવાથી આપણે જુદા જુદા અનેક જવાબ આપી શકીએ.

3. 3/5 અને 4/5 વચ્ચેની પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધો.

4. નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય? કારણ સહિત જવાબ આપો :

(i) દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

(ii) દરેક પૂર્ણાંક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

(iii) દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

(i) આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યાઓના જથ્થામાં દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.

(ii) આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે કોઈ પણ ઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યા જેવી કે -2, −3, -5 વગેરે એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી. પૂર્ણ સંખ્યાના જથ્થામાં 0 તથા પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાની વિરોધી સંખ્યાનો સમાવેશ થતો નથી.

(iii) આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે કોઈ પણ બે ક્રમિક પૂર્ણ સંખ્યાની વચ્ચે આવેલ સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી. દા. ત., પૂર્ણ સંખ્યાઓ 5/2 અને 3ની વચ્ચે આવેલ સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.

સ્વાધ્યાય – 1.2

1. નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય? કારણ સહિત જવાબ આપો :

(i) દરેક અસંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(ii) સંખ્યારેખા પરનું દરેક બિંદુ કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા m માટે √m સ્વરૂપનું હોય છે.

(iii) દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(i) આપેલ વિધાન સત્ય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાના સમૂહમાં દરેક સંમેય સંખ્યા તથા દરેક અસંમેય સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.

(ii) આપેલ વિધાન અસત્ય છે. સંખ્યારેખા પર દર્શાવવામાં આવતી ઋણ સંખ્યાઓ કદી પણ કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા m માટે √m સ્વરૂપની ન હોઈ શકે. કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા m માટે m ધન સંખ્યા છે.

(iii) આપેલ વિધાન અસત્ય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં સંમેય સંખ્યાઓ તથા અસંમેય સંખ્યાઓ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. આથી દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંમેય સંખ્યા અથવા અસંમેય સંખ્યા હોઈ શકે.

2. શું દરેક ધન પૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ અસંમેય હોય છે? જો ના, તો એવી એક સંખ્યાનું ઉદાહરણ આપો જેનું વર્ગમૂળ સંમેય સંખ્યા હોય.

ના. દરેક ધન પૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ અસંમેય જ હોય તેવું નથી. દરેક પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા કે જે હંમેશાં ધન પૂર્ણાંક જ હોય, તેનું વર્ગમૂળ હંમેશાં સંમેય સંખ્યા જ હોય.

ઉદાહરણ : √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, …….

3. √5 ને સંખ્યારેખા પર કેવી રીતે દર્શાવી શકાય તે બતાવો.

સૌપ્રથમ સંખ્યારેખા પર એક બિંદુ ૦ પસંદ કરો, જેને સંગત સંખ્યા 0 છે. યોગ્ય એકમ પસંદ કરીને સંખ્યારેખા પર બિંદુ A દર્શાવો, જે સંખ્યા 1નું નિરૂપણ કરે. રેખાખંડ OAને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. રેખાખંડ OB દોરો. હવે, પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર OB = √2 થાય. રેખાખંડ OBને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ BC દોરો. રેખાખંડ OC દોરો. હવે, OC = √3 થાય. રેખાખંડ ૨૩ OCને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ CD દોરો. રેખાખંડ OD દોરો. હવે, OD = √4 થાય. રેખાખંડ ODને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ DE દોરો. રેખાખંડ OE દોરો. હવે, OE = √5 થાય. હવે, O કેન્દ્ર અને OE ત્રિજ્યા લઈ વર્તુળનો એક ચાપ દોરો, જે સંખ્યારેખાને Pમાં છેદે. આમ, √5 ને સંખ્યારેખા પર બિંદુ P દ્વારા દર્શાવી શકાય. ટૂંકી રીત :

√5 નું સંખ્યારેખા પર નિરૂપણ બીજી ટૂંકી રીતે પણ કરી શકાય.

સંખ્યારેખા l પર 0ને સંગત હોય તેવું બિંદુ O પસંદ કરો. યોગ્ય એકમ પસંદ કરીને OA = 2 એકમ થાય તેવું બિંદુ A સંખ્યારેખા પર લો. હવે, કાટકોણ Δ OAP રચો. જેમાં ∠ OAP = 90° અને AP = 1 એકમ હોય. હવે, પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર,

4. વર્ગ-પ્રવૃત્તિ : વર્ગમૂળ કુંતલ(Spiral)ની રચના : એક મોટો કાગળ લો અને નીચે બતાવેલી પદ્ધતિથી ‘વર્ગમુળ કુંતલ’ની રચના કરો. સૌથી પહેલાં એક બિંદુ O લો અને એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ OP₁ દોરો. OP₁ ને લંબ હોય તેવો એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ P₁P₂ દોરો. જુઓ આકૃતિ. હવે, રેખાખંડ OP₂ પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ P₂P₃ દોરો. ત્યારપછી રેખાખંડ OP₃ ૫૨ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ P₃P₄ દોરો. આ જ રીતે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને રેખાખંડ OP_n-1 પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ P_n-1 P_n મેળવી શકાય છે. આમ, આપણે O, P₁, P₂, P₃, …, P_n … બિંદુઓ મેળવી શકીશું અને તેમને જોડતાં √2, √3, √4, …ને દર્શાવતું સુંદર વર્ગમૂળ કુંતલ મળશે.

સ્વાધ્યાય – 1.3

1. નીચેની સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને તે કેવા પ્રકારની દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે તે જણાવો :

7. જેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત્ત હોય તેવી ત્રણ સંખ્યાઓ લખો.

આપણે જાણીએ છીએ કે અસંમેય સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત્ત હોય છે. અસંમેય સંખ્યાઓ અસંખ્ય (અગણિત) છે. તે પૈકીની ત્રણ અસંમેય સંખ્યાઓ દશાંશ સ્વરૂપમાં નીચે દર્શાવેલ છે :

0.01001000100001 …

0.02002000200002 ….

0.50500500050000 ….

અસંમેય સંખ્યાઓ જેવી કે √2, √3, √5, ³√10 વગેરેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ હંમેશાં અનંત અનાવૃત્ત હોય છે.

સ્વાધ્યાય – 1.4

1. ક્રમિક વિપુલદર્શિતા પદ્ધતિની મદદથી સંખ્યારેખા પર 3.765 દર્શાવો.

સ્વાધ્યાય – 1.5

1. આપેલી સંખ્યાઓનું સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓમાં વર્ગીકરણ કરો :

3. યાદ કરો કે ને એક વર્તુળના પરિઘ (c) અને તેના વ્યાસ (d)ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. એટલે કે π = c/d તે વિરોધાભાસી છે, કારણ કે ૠ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસનો ઉકેલ કેવી રીતે લાવશો?

π ને એક વર્તુળના પરિઘ (c) અને તેના વ્યાસ (d)ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. ક્રમિક વિપુલદર્શિતાની પદ્ધતિમાં આપણે જોયું કે જેમ જેમ વિપુલદર્શિતાની સંખ્યા વધારતા જઈએ તેમ તેમ વધુ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થાય છે. પરંતુ, કોઈ પણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની વચ્ચે અનંત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ રહેલ હોવાથી પરિઘ (c) અને વ્યાસ (d)નું ચોક્કસ માપ જાણવું અશક્ય છે. જો આપણે વિપુલદર્શિતાની સંખ્યા વધારીએ, તો દરેક તબક્કે આ માપમાં થોડો તફાવત આવે જ. એવું પણ શક્ય હોય કે પરિઘ (c) અથવા / અને વ્યાસ (d)નું માપ અસંમેય સંખ્યામાં મળે. આથી જ π = c/d હોવા છતાં π એ અસંમેય સંખ્યા છે તેમાં કોઈ જ વિરોધાભાસ નથી.

4. √9.3 ને સંખ્યારેખા પર દર્શાવો.

રચનાના મુદ્દા :

( 1 ) કિરણ AX દોરો.

( 2 ) કિરણ AX પર બિંદુ B એવું લો કે જેથી AB = 9.3 એકમ થાય.

( 3 ) કિરણ BX પર બિંદુ C એવું લો કે જેથી BC = 1 એકમ થાય.

( 4 ) રેખાખંડ ACને Pમાં છેદતો રેખાખંડ ACનો લંબદ્વિભાજક દોરો.

( 5 ) Pને કેન્દ્ર લઈ AP જેટલી ત્રિજ્યાનું એક અર્ધવર્તુળ દોરો.

( 6 ) B બિંદુએ રેખાખંડ ACનો લંબ દોરો જે અર્ધવર્તુળને Dમાં છેદે. રેખાખંડ BDની લંબાઈ √9.3 એકમ થશે.

( 7 ) Bને સંગત સંખ્યા ૭ લો. Bને કેન્દ્ર લઈ BD જેટલી ત્રિજ્યાનો ચાપ દોરો, જે કિરણ BXને Kમાં છેદે. Kને સંગત સંખ્યા √9.3 થશે.

આમ, બિંદુ K દ્વારા √9.3ને સંખ્યારેખા પર દર્શાવેલ છે.

5. આપેલ સંખ્યાઓના છેદનું સંમેયીકરણ કરો :